Lógica 05: 10 reglas de reemplazo

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En la publicación anterior vimos acerca de las diez reglas de inferencia lógica para la construcción de un argumento válido. Ahora veremos 10 reglas de reemplazo que son útiles a la hora de demostrar la validez de un argumento cuando utilizamos el lenguaje formal. El conector ↔ en este contexto se traduce por “es lógicamente equivalente”, esto quiere que decir que no importa en que lado se encuentren las fórmulas, ambas tienen el mismo valor de verdad y significan lo mismo (más adelante hablaré de esto).

Lógica 05: 10 reglas de reemplazo

  1. Teoremas de Morgan (De M)
  • ¬ (P ^ Q) ↔ (¬P v ¬Q)
  • ¬ (P v Q) ↔ (¬P ^ ¬Q)

Esta regla establece que:

  • La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
  • La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.

Ejemplos:

  • “A Jeanne no le gusta el chocolate y la vainilla” es lógicamente equivalente a “A Jeanne no le gusta el chocolate o a ella no le gusta la vainilla”.
  • “A Jeanne no le gusta el chocolate o la vainilla” es lógicamente equivalente a “A Jeanne no le gusta el chocolate y a ella no le gusta la vainilla”.
  1. Conmutación (Conm.)
  • (P v Q) ↔ (Q v P)
  • (P ^ Q) ↔ (Q ^ P)

Así como en las matemáticas el orden de factores no altera el producto, en lógica el orden de los argumentos no altera el resultado en ningún caso, con excepción de la implicación. Esta regla sólo aplica a conjunciones y disyunciones. Ejemplos:

  • “O Jeanne irá al partido de soccer o irá al cine” es lógicamente equivalente a “O Jeanne irá al cine o Jeanne irá al partido de soccer”.
  • “Reina tocará la trompeta y Kumiko tocará el eufonio” es lógicamente equivalente a “Kumiko tocará el eufonio y Reina tocará la trompeta”.
  1. Distribución (Dist.)
  • [P ^ (Q v R) ↔ [(P ^ Q) v (P ^ R)]
  • [P v (Q ^ R) ↔ [(P v Q) ^ (P v R)]

Esta regla establece que P puede distribuirse con Q y R por ser factores comunes en disyunciones y conjunciones. Ejemplos:

  • “Jeanne se sacará la lotería y comprará un auto nuevo o donará diez mil pesos a un orfanato” es lógicamente equivalente a “Jeanne se sacará la lotería y comprará un auto nuevo o Jeanne se sacará la lotería y donará diez mil pesos al orfanato”.
  • “O Reina irá a la librería o Reina irá a la plaza y comprará una blusa” es lógicamente equivalente a “O Reina irá a la librería o ella ira a la plaza; y, ya sea que Reina vaya a la librería o ya no compre la blusa”.
  1. Asociación (Asoc.)
  • [P v (Q v R)] ↔ [(P v Q) v R]
  • [P ^ (Q ^ R)] ↔ [(P ^ Q) ^ R]

Por medio de la asociación, no importa la manera como agrupemos las proposiciones en conjunciones y disyunciones, esto no altera su valor de verdad.

  1. Doble negación (DN)
  • P ↔ ¬¬P

Esta regla nos dice que una proposición (P) es equivalente a la falsedad de su negación (¬¬P). Ejemplos:

  • “Es de día” es lógicamente equivalente a “Es falso que no es de día”.
  • “Reina es una persona alegre” es lógicamente equivalente a “Es falso que Reina no es una persona alegre”.
  1. Transposición (Trans.)
  • (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)

Esta regla nos dice que una implicación es equivalente a su inversa negativa. Ejemplo:

  • “Si llueve, hace frío” es lógicamente equivalente a “Si no hace frío, es que no llueve”.
  1. Implicación material (Impl.)
  • (P → Q) ↔ (¬P v Q)

La regla establece que P implica Q es lógicamente equivalente a no P o Q. Ejemplo:

  • “Si se trata de un oso, entonces puede nadar” es lógicamente equivalente a “O no es un oso o puede nadar”.
  1. Equivalencia material (Equiv.)
  • (P ≡ Q) ↔ [(P → Q) ^ (Q → P)]
  • (P ≡ Q) ↔ [(P ^ Q) v (¬P → ¬Q)]

Tanto el símbolo ≡ como ↔ se utilizan para expresar la equivalencia lógica y equivalencia material, todo depende del autor; en este caso he utilizado ↔ para expresar la equivalencia lógica mientras que ≡ para la equivalencia material. Las proposiciones son materialmente equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad. Dado que dos proposiciones materialmente equivalentes son ambas verdaderas o ambas falsas, observamos que (materialmente) ambas se implican la una a la otra, porque un antecedente falso implica (materialmente) cualquier proposición, y un consecuente verdadero está (materialmente) implicado por cualquier proposición. Ejemplo:

  • “Júpiter es más grande que la Tierra” si y solo si “Tokio es la capital de Japón” es lógicamente equivalente a “Si Júpiter es más grande que la Tierra, entonces Tokio es la capital de Japón” y “Si Tokio es la capital de Japón, entonces Júpiter es más grande que la Tierra”.

También podemos extender la equivalencia material sobre los condicionales de esta manera:

  • “Júpiter es más grande que la Tierra” si y sólo si “Tokio es la capital de Japón”, es lógicamente equivalente a “Júpiter es más grande que la Tierra” y “Tokio es la capital de Japón”, o “Si Júpiter no es más grande que la Tierra” entonces “Tokio no es la capital de Japón”.

Con esto inmediatamente nos damos cuenta de la diferencia de equivalencia material y la equivalencia lógica. Ésta última se da cuando las proposiciones, aparte de tener el mismo valor de verdad, también tienen el mismo significado.

  1. Exportación (Exp.)
  • [(P ^ Q) → R] ↔ [P → (Q → R)]

Esta regla permite que proposiciones condicionales con antecedentes conjuntivos se sustituyan por proposiciones que tienen consecuentes condicionales y viceversa. Ejemplo:

  • “Si llueve y el sol brilla, entonces hay un arcoíris” es lógicamente equivalente a “Si llueve, entonces que el sol brille implica que hay un arcoíris”.
  1. Tautología (Taut.)
  • P ↔ (P v P)
  • P ↔ (P ^ P)

Elimina la redundancia en disyunciones y conjunciones en las demostraciones lógicas. Ejemplo:

  • “Reina toca la trompeta” es lógicamente equivalente a “Reina toca la trompeta o Reina toca la trompeta”.
  • “Kumiko canta horrible” es lógicamente equivalente a “Kumiko canta horrible” y “Kumiko canta horrible”.

Con nuestras diez reglas de inferencia originales no sería posible probar la validez del siguiente argumento:

  • A ^ B /∴ B

Pero utilizando nuestras diez reglas de reemplazo ahora podemos hacerlo:

  1. A ^ B /∴ B
  2. B ^ A (1, Conm.)
  3. B (2, Simp.)

Ten siempre en cuenta las veinte reglas de inferencia para construir un buen argumento o para probar la validez de uno.

Bibliografía recomendada

Irving M. Copi, Lógica Simbólica.

  1. P. Moreland y W. L. Craig, “Logic and Argumentation” en Philosophical Foundations for a Christian Worldview Second Edition.

 


Jairo Izquierdo Hernández es el fundador de Filósofo Cristiano. Actualmente trabaja como Director de Social Media para la organización cristiana Cross Examined. Es miembro en la Christian Apologetics Alliance y ministro de alabanza en la iglesia cristiana bautista Cristo es la Respuesta en Puebla, México.

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