L贸gica 10: reglas de inferencia para argumentos cuantificados

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Hemos llegado a la pen煤ltima parte de nuestras lecciones sobre l贸gica de predicados. En esta secci贸n hablar茅 sobre las cuatro reglas de inferencia que hay para argumentos con proposiciones universal y existencialmente cuantificadas y que a帽adiremos a las reglas que ya vimos para la l贸gica proposicional.

L贸gica 10 reglas de inferencia para argumentos cuantificados

OBSERVACIONES PRELIMINARES

Antes de comenzar a explicar nuestras reglas de inferencia, es importante recalcar la importancia de ciertas caracter铆sticas de los objetos, individuos o miembros de los cuales se est谩 predicando y que son las propiedades de ser espec铆fico, arbitrario y previamente introducido. Cuando hablamos de un objeto espec铆fico, nos referimos a que conocemos la identidad del objeto en cuesti贸n. Cuando hablamos de un objeto arbitrario, nos referimos a un objeto del cu谩l no conocemos su identidad. Y cuando hablamos de un objeto previamente introducido, nos referimos a un objeto arbitrario que ha aparecido antes en alguna premisa y que ahora se est谩 predicando en una nueva. Con estas propiedades en mente de nuestros objetos de los que vamos a predicar algo, ahora podemos pasar a explicar nuestras reglas de inferencia para proposiciones cuantificadas.

  1. GENERALIZACI脫N EXISTENCIAL (EG)

Forma l贸gica

饾洍f

———-

鈭 鈭x饾洍x

Esta es la regla m谩s f谩cil de entender. Nos dice que, de la predicaci贸n de cualquier individuo espec铆fico elegido, se infieren proposiciones generales existencialmente cuantificadas (f puede ser cualquier constante).

Ejemplo:

  1. Tomoko sac贸 una A en clase.
  2. Por lo tanto, alguien sac贸 una A en clase.

Observa que no hay forma que el enunciado (1) sea verdad mientras que el enunciado (2) sea falso. Si es verdad que Tomoko sac贸 una A en clase, entonces es verdad que alguien (Tomoko, al menos) sac贸 una A.

  1. INSTANCIACI脫N EXISTENCIAL (EI)

Forma l贸gica

x 饾洍x

———-

鈭 饾洍g

A diferencia de EG, esta regla es dif铆cil de comprender al principio, porque si se define como la inferencia de cualquiera de las instancias de una generalizaci贸n existencial, tendr铆amos que de

  1. Alguien es matem谩tico.
  2. Por lo tanto, Superman es matem谩tico.

Este ser铆a un razonamiento verdadero, pero es obvio que no lo es, y la raz贸n es que esta regla no nos permite inferir a un objeto espec铆fico.

El m茅todo

驴Qu茅 hacemos entonces? Lo que necesitamos aqu铆 es un m茅todo que nos permita inferir a partir de una generalizaci贸n existencial. Sabemos que una proposici贸n cuantificada existencialmente predica algo de al menos un individuo, pero como no sabemos qui茅n es ese individuo, lo que hacemos es usar un nombre temporal (o nombre nuevo) para referirnos a dicho individuo en nuestra prueba y asumir que nombra a un objeto (sea lo que sea) que determina que la generalizaci贸n existencial es verdadera.

Ejemplo

Argumento

Alg煤n falsificador ha reemplazado las pinturas del museo. Quien remplaz贸 las pinturas tiene un c贸mplice en el personal del museo. Por lo tanto, alg煤n falsificador tiene un c贸mplice en el personal del museo.

Prueba

Sabemos que alg煤n falsificador remplaz贸 las pinturas; llam茅mosle Juan P茅rez (Fulano es otro nombre muy com煤n para referirnos a alguien que no conocemos, pero del que sabemos algo). Dado que quien remplaz贸 las pinturas tiene un c贸mplice en el personal del museo, se deduce que Juan P茅rez tiene tal c贸mplice. Pero Juan P茅rez es un falsificador, y Juan P茅rez tiene un c贸mplice en el personal. Por lo tanto, alg煤n falsificador tiene un c贸mplice en el personal.

La regla

  • Tenemos una generalizaci贸n existencial como una l铆nea en nuestra prueba, digamos 鈭x 饾洍x.
  • Hemos asumido una instancia de esa generalizaci贸n, digamos 饾洍g, como un supuesto temporal.
  • A partir de ese supuesto, hemos derivado alguna conclusi贸n, digamos 饾洐, en la que g no ocurre.

Luego la regla nos permite ingresar la conclusi贸n 饾洐 a la que acabamos de llegar como una nueva l铆nea, pero que depende de la generalizaci贸n existencial 鈭x 饾洍x en lugar de la instancia 饾洍g que asumimos temporalmente.

Explicaci贸n

Nuestro ejemplo sigui贸 este procedimiento: 饾洍x era x es un falsificador y x remplaz贸 las pinturas del museo, g fue Juan P茅rez y 饾洐 fue Alg煤n falsificador tiene un c贸mplice en el personal. Nuestra suposici贸n lleg贸 en el momento en que dijimos llam茅mosle Juan P茅rez.

La Restricci贸n

Existe una restricci贸n a la regla de EI, y es que cuando usamos el nombre temporal para la instancia, esta tiene que ser una constante individual que no ha aparecido en una premisa anterior de la prueba.

Ejemplo

  1. Hubo alguien que obtuvo una B en el curso de m煤sica.
  2. Llamemos j a quien obtuvo una B.

Nuestra letra j no la hemos utilizado anteriormente, pero si en nuestra prueba tenemos m谩s proposiciones cuantificadas existencialmente sobre el mismo dominio, debemos usar una letra diferente o numerarlas conforme vayan apareciendo.

Ejemplos

  1. Hay alguien del curso de m煤sica que es atractivo.
  2. Llamemos j1 a quien es atractivo.
  3. Hay alguien del curso que es rico.
  4. Llamemos j2 a quien es rico.

Con estos ejemplos queda claro que, si usamos j para todas las premisas sin enumerarlas, estar铆amos cometiendo el error de inferir que j es quien sac贸 una B en el curso de m煤sica y que tambi茅n es atractivo y es rico, y esto no lo podemos comprobar. Por esta raz贸n debemos usar letras distintas o la misma letra con n煤meros que la distingan de otras y que no hayamos usado antes (nota que si en lugar de j hubiera usado g que ya ha sido utilizada anteriormente, estar铆amos afirmando que el falsificador de pinturas tambi茅n sac贸 una B en el curso, que es rico y es atractivo).

  1. INSTANCIACI脫N UNIVERSAL (UI)

Forma l贸gica

x 饾洍x

———-

鈭 饾洍h

Otra regla f谩cil. UI nos dice que lo que se predica de todos o ninguno de los individuos de un dominio, tambi茅n se predica para cualquier individuo de ese dominio, ya sea espec铆fica, arbitraria o previamente introducido en premisas anteriores.

Objeto Espec铆fico

Veamos primero c贸mo se aplica la regla a un individuo espec铆ficamente elegido donde 饾洍h es el resultado de la sustituci贸n de聽h para todas las ocurrencias de聽x en 饾洍x. Nuestro dominio en cuesti贸n ser谩n simplemente todas las personas y de las cu谩les Tomoko ser谩 nuestro individuo espec铆ficamente elegido. As铆 podemos formular una proposici贸n cuantificada universalmente como la siguiente:

  1. Todas las personas pueden razonar.

De la que podemos concluir que

  1. Por lo tanto, Tomoko puede razonar.

Objeto previamente introducido

Recordemos que j1 y j2 de las formulas anteriores tambi茅n son personas, por lo que tambi茅n podemos concluir que

  1. Por lo tanto, j1 puede razonar.
  2. Por lo tanto, j2 puede razonar.

Objeto Arbitrario

Y, por 煤ltimo, partiendo de (1) y de que es posible decir 鈥渟ea i una persona arbitraria鈥, entonces se sigue que

  1. Por lo tanto, i puede razonar.

Restricci贸n

En el caso del objeto arbitrario, es importante no saber otra cosa acerca i dada la siguiente regla.

  1. GENERALIZACI脫N UNIVERSAL (UG)

Forma l贸gica:

饾洍i

———-

鈭 鈭x 饾洍x

Sin duda la regla m谩s controversial es la de UG, y es que, si se define como la norma que establece que, a partir de cualquier instancia de una generalizaci贸n universal, infieres esa generalizaci贸n, entonces nos encontraremos con razonamientos como el siguiente:

  1. William Lane Craig es Cristiano,
  2. Por lo tanto, todos son cristianos.

Lo cual es falso. Para evitar este tipo de razonamientos falaces, necesitamos de un m茅todo al igual que hicimos con EI.

El m茅todo

Primero, de nuestra prueba escogemos a un individuo de forma arbitraria y temporalmente le damos un nuevo. Luego probamos algo sobre el individuo elegido al azar. Finalmente, podemos inferir que lo que hemos probado acerca de este individuo elegido al azar es v谩lido universalmente; es decir, podemos inferir una generalizaci贸n universal.

驴Pero c贸mo hacemos esto? Usando la prueba por condici贸n general. Este es un m茅todo para probar proposiciones condicionales generalizadas; es decir, las proposiciones de la forma Todo P es Q. La t茅cnica consiste en tomar alguna instancia arbitraria de P y luego probar que tambi茅n es una instancia de Q. Habiendo probado que esta instancia arbitraria de P es tambi茅n una instancia de Q, podemos inferir que cualquier instancia de P es una instancia de Q.

Ejemplo

Para probar que

  1. Para cualquier x, si x es presidente de M茅xico, entonces x es un ciudadano mexicano.

Luego, por regla de UI podemos decir: 鈥渟ea i un presidente de M茅xico arbitrariamente elegido鈥, entonces se sigue que

  1. i es un ciudadano mexicano.

Luego por UG podemos concluir que

  1. Para cualquier x, si x es un presidente de M茅xico, entonces x es un ciudadano mexicano.

Ahora, es importante recordar que no necesitamos estar seguros de que realmente hemos tomado una instancia de P, que no pasa nada si no existe ninguno. Esto se debe a que la certeza no es una condici贸n necesaria, que haya una instancia de P escogida arbitrariamente es solo una asunci贸n que estamos haciendo y que luego desecharemos. Recuerda que esta prueba condicional es similar a la que utilizamos para la l贸gica proposicional, por lo que nuestra prueba no depende de si realmente existe dicha instancia, sino que, si hay tal instancia, entonces tambi茅n ser谩 una instancia de Q.

As铆, para cualquier proposici贸n 鈭x (Px 鈫 Qx) se procede a probar de la siguiente forma:

  • Asumir alguna instancia de Px, digamos Pi, donde i denota cualquier individuo arbitrariamente elegido (pero no uno espec铆fico).
  • Probamos Qi.
  • Desechamos el supuesto y esbozamos la conclusi贸n 鈭x (Px 鈫 Qx).

Una aplicaci贸n pr谩ctica de esta regla ser铆a la siguiente: imagina que le preguntas a un amigo tuyo: 鈥溌縎i alguien rompe tu celular nuevo, te molestar铆as con 茅l?鈥 T煤 amigo responde: 鈥淪铆鈥. Ahora sabes que, dado que 鈥渁lguien鈥 podr铆a ser 鈥渃ualquiera鈥, concluyes por generalizaci贸n universal que 鈥淧ara cualquier x, si x rompe el celular de mi amigo, 茅l se molestar谩 con x鈥. Ahora puedes aplicar la regla de UI y concluir: 鈥淪i yo rompo el celular de mi amigo, 茅l se molestar谩 conmigo鈥.

La Restricci贸n

Esta regla tiene la restricci贸n de no inferir generalizaciones de proposiciones de un individuo espec铆fico. Por ejemplo, imaginemos un caso similar al anterior, solo que ahora le preguntas a tu amigo: 鈥淪i tu novia rompe tu iPad nuevo, 驴te molestar谩s con ella?鈥 Y 茅l responde 鈥淣o鈥. T煤 no puedes aplicar UG como en el caso del celular por que la 鈥渘ovia鈥 no es alguien arbitrariamente elegido: si t煤 eres el que rompe su iPad, tu amigo podr铆a enojarse contigo.

 


Jairo Izquierdo es Director de Social Media y autor para la organizaci贸n cristiana Cross Examined.聽 Estudia filosof铆a y teolog铆a, siendo su actual foco de estudio la l贸gica cl谩sica, epistemolog铆a, doctrinas cristianas y ling眉铆stica.聽 Es cofundador de Fil贸sofo Cristiano. Es miembro en la Christian Apologetics Alliance y ministro de alabanza en la iglesia cristiana bautista Cristo es la Respuesta en Puebla, M茅xico.

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