Lógica 07: Prueba Condicional, Prueba Indirecta y Reductio ad Absurdum

En este apartado quisiera hablar sobre tres tipos de pruebas para demostrar la validez de un argumento.

PRUEBA CONDICIONAL

La prueba condicional (CP) sirve para demostrar que, si damos por cierto algo, entonces ciertas conclusiones se siguen. CP solo puede ser utilizada en argumentos cuyas conclusiones sean proposiciones condicionales. Veamos el siguiente argumento:

(P v Q) → (R ^ S)

(S v T) → U

∴ P → U

Ahora apliquemos la regla por prueba condicional. Para eso debemos colocar nuestra conclusión en el mismo reglón de la premisa anterior, colocando una diagonal para indicar que se va a realizar la demostración por prueba condicional a partir del siguiente reglón, por lo que debemos indicarlo colocando CP entre paréntesis. Veamos:

Argumento | Premisas a demostrar | Razón
1. (P v Q) → (R ^ S) | | Premisa
2. (S v T) → U | / ∴P → U | Premisa
3. P | / ∴ U | CP
4. P v Q | | 3, Add.
5. R ^ S | | 1, 4, MP
6. S ^ R | | 5, Conm.
7. S | | 6, Simp.
8. S v T | | 7, Add.
9. U | | 2, 8, MP

Como puedes ver, lo que ocurre con la prueba condicional, es tratar al antecedente de ∴ P → U como una premisa asumida, en este caso P. Es como decir: “Supongamos que P es verdadera, ¿entonces qué? Veamos un último ejemplo:

P → Q

Q → R ^ S

Supongamos ahora que queremos demostrar la verdad de S a partir de P. Con nuestras veinte reglas de inferencia hasta al momento aprendidas no es posible hacer eso, por lo que tenemos que usar la regla por prueba condicional.

Argumento | Premisas a demostrar | Razón
1. P → Q | | Premisa
2. Q → R ^ S | / ∴ P → S | Premisa
3. P | / ∴ S | CP (Prueba Condicional)
4. Q | | 1, 3, MP
5. R ^ S | | 2, 4, MP
6. S ^ R | | 5, Conm.
7. S | | 6, Simp.

De esta manera podemos demostrar proposiciones condicionales usando la prueba condicional.

PRUEBA POR REDUCCIÓN AL ABSURDO (REDUCTIO AD ABSURDUM)

La prueba condicional por reductio ad absurdum (RAA) nos dice que, si alguna premisa se supone verdadera e implica una contradicción, entonces la premisa es un absurdo, por lo que debe ser rechazada.

La forma de proceder para este argumento es muy sencilla. Primero se parte de una(s) premisa(s) en las que ambas partes están de acuerdo. Luego añades una premisa condicional la cual el oponente también está de acuerdo, pero que tú crees que es falsa. Luego das por supuesta dicha premisa y utilizando las reglas de inferencia ya conocidas llegarás a una conclusión que es contradictoria. Veamos un ejemplo:

Argumento | Premisas a demostrar | Razón
1. P | | Premisa aceptada
2. ¬R → Q | | Premisa aceptada
3. Q → ¬P | | Premisa aceptada
4. ¬R | | Premisa condicional
5. Q | | 2, 4, MP
6. ¬P | | 3, 5, MP
7. P ^ ¬P | | 1, 6, Conj. (Contradicción)
8. ¬R | / ∴ (P ^ ¬P) | 4, 7, CP
9. ¬¬R | | 8, RAA
10. R | | 9, DN

Como puedes ver, a partir de la presuposición de (4) llegamos a una contradicción (7), por lo que concluimos que su contrario es verdadero.

DEMOSTRACIÓN INDIRECTA

El método de demostración o prueba indirecta (IP) para un argumento dado es similar al reductio ad absurdum, la diferencia radica en que este se construye agregando como premisa adicional la negación de la conclusión en cuestión y deduciendo entonces una contradicción. En otras palabras, por medio de la prueba indirecta, lo que se busca es confirmar la validez de nuestro argumento al demostrar que, si negamos la conclusión y llegamos a una contradicción, entonces quiere decir que su contrario, nuestra conclusión original, es verdadera. Veamos un ejemplo:

Argumento | Premisas a Demostrar | Razón

1. P → ¬R

Premisa aceptada

2. Q ^ R | / ∴ ¬P | Premisa aceptada
3. ¬¬P | | IP (Prueba Indirecta)
4. P | | 3, DN
5. ¬R | | 1, 4, MP
6. R ^ Q | | 2, Conm.
7. R | | 6, Simp.
8. ¬R ^ R | | 5, 7, Conj. (Contradicción)

Como puedes ver, dado que (8) implica una contradicción, entonces la negación de nuestra conclusión debe ser falsa, por lo que nuestra conclusión original es verdadera.

Jairo Izquierdo Hernández es el fundador de Filósofo Cristiano. Disfruta estudiando filosofía y lingüística. Actualmente trabaja como Director de Social Media y autor para la organización cristiana Cross Examined. Es miembro en la Christian Apologetics Alliance y ministro de alabanza en la iglesia cristiana bautista Cristo es la Respuesta en Puebla, México.