Lógica 10: reglas de inferencia para argumentos cuantificados

Hemos llegado a la penúltima parte de nuestras lecciones sobre lógica de predicados. En esta sección hablaré sobre las cuatro reglas de inferencia que hay para argumentos con proposiciones universal y existencialmente cuantificadas y que añadiremos a las reglas que ya vimos para la lógica proposicional.

OBSERVACIONES PRELIMINARES

Antes de comenzar a explicar nuestras reglas de inferencia, es importante recalcar la importancia de ciertas características de los objetos, individuos o miembros de los cuales se está predicando y que son las propiedades de ser específico, arbitrario y previamente introducido. Cuando hablamos de un objeto específico, nos referimos a que conocemos la identidad del objeto en cuestión. Cuando hablamos de un objeto arbitrario, nos referimos a un objeto del cuál no conocemos su identidad. Y cuando hablamos de un objeto previamente introducido, nos referimos a un objeto arbitrario que ha aparecido antes en alguna premisa y que ahora se está predicando en una nueva. Con estas propiedades en mente de nuestros objetos de los que vamos a predicar algo, ahora podemos pasar a explicar nuestras reglas de inferencia para proposiciones cuantificadas.

GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL (EG)

Forma lógica

𝛗f

———-

∴ ∃x𝛗x

Esta es la regla más fácil de entender. Nos dice que, de la predicación de cualquier individuo específico elegido, se infieren proposiciones generales existencialmente cuantificadas (f puede ser cualquier constante).

Ejemplo:

Tomoko sacó una A en clase.

Por lo tanto, alguien sacó una A en clase.

Observa que no hay forma que el enunciado (1) sea verdad mientras que el enunciado (2) sea falso. Si es verdad que Tomoko sacó una A en clase, entonces es verdad que alguien (Tomoko, al menos) sacó una A.

INSTANCIACIÓN EXISTENCIAL (EI)

Forma lógica

∃x 𝛗x

———-

∴ 𝛗g

A diferencia de EG, esta regla es difícil de comprender al principio, porque si se define como la inferencia de cualquiera de las instancias de una generalización existencial, tendríamos que de

Alguien es matemático.

Por lo tanto, Superman es matemático.

Este sería un razonamiento verdadero, pero es obvio que no lo es, y la razón es que esta regla no nos permite inferir a un objeto específico.

El método

¿Qué hacemos entonces? Lo que necesitamos aquí es un método que nos permita inferir a partir de una generalización existencial. Sabemos que una proposición cuantificada existencialmente predica algo de al menos un individuo, pero como no sabemos quién es ese individuo, lo que hacemos es usar un nombre temporal (o nombre nuevo) para referirnos a dicho individuo en nuestra prueba y asumir que nombra a un objeto (sea lo que sea) que determina que la generalización existencial es verdadera.

Ejemplo

Argumento

Algún falsificador ha reemplazado las pinturas del museo. Quien remplazó las pinturas tiene un cómplice en el personal del museo. Por lo tanto, algún falsificador tiene un cómplice en el personal del museo.

Prueba

Sabemos que algún falsificador remplazó las pinturas; llamémosle Juan Pérez (Fulano es otro nombre muy común para referirnos a alguien que no conocemos, pero del que sabemos algo). Dado que quien remplazó las pinturas tiene un cómplice en el personal del museo, se deduce que Juan Pérez tiene tal cómplice. Pero Juan Pérez es un falsificador, y Juan Pérez tiene un cómplice en el personal. Por lo tanto, algún falsificador tiene un cómplice en el personal.

La regla

Tenemos una generalización existencial como una línea en nuestra prueba, digamos ∃x 𝛗x.

Hemos asumido una instancia de esa generalización, digamos 𝛗g, como un supuesto temporal.

A partir de ese supuesto, hemos derivado alguna conclusión, digamos 𝛙, en la que g no ocurre.

Luego la regla nos permite ingresar la conclusión 𝛙 a la que acabamos de llegar como una nueva línea, pero que depende de la generalización existencial ∃x 𝛗x en lugar de la instancia 𝛗g que asumimos temporalmente.

Explicación

Nuestro ejemplo siguió este procedimiento: 𝛗x era x es un falsificador y x remplazó las pinturas del museo, g fue Juan Pérez y 𝛙 fue Algún falsificador tiene un cómplice en el personal. Nuestra suposición llegó en el momento en que dijimos llamémosle Juan Pérez.

La Restricción

Existe una restricción a la regla de EI, y es que cuando usamos el nombre temporal para la instancia, esta tiene que ser una constante individual que no ha aparecido en una premisa anterior de la prueba.

Ejemplo

Hubo alguien que obtuvo una B en el curso de música.

Llamemos j a quien obtuvo una B.

Nuestra letra j no la hemos utilizado anteriormente, pero si en nuestra prueba tenemos más proposiciones cuantificadas existencialmente sobre el mismo dominio, debemos usar una letra diferente o numerarlas conforme vayan apareciendo.

Ejemplos

Hay alguien del curso de música que es atractivo.

Llamemos j1 a quien es atractivo.

Hay alguien del curso que es rico.

Llamemos j2 a quien es rico.

Con estos ejemplos queda claro que, si usamos j para todas las premisas sin enumerarlas, estaríamos cometiendo el error de inferir que j es quien sacó una B en el curso de música y que también es atractivo y es rico, y esto no lo podemos comprobar. Por esta razón debemos usar letras distintas o la misma letra con números que la distingan de otras y que no hayamos usado antes (nota que si en lugar de j hubiera usado g que ya ha sido utilizada anteriormente, estaríamos afirmando que el falsificador de pinturas también sacó una B en el curso, que es rico y es atractivo).

INSTANCIACIÓN UNIVERSAL (UI)

Forma lógica

∀x 𝛗x

———-

∴ 𝛗h

Otra regla fácil. UI nos dice que lo que se predica de todos o ninguno de los individuos de un dominio, también se predica para cualquier individuo de ese dominio, ya sea específica, arbitraria o previamente introducido en premisas anteriores.

Objeto Específico

Veamos primero cómo se aplica la regla a un individuo específicamente elegido donde 𝛗h es el resultado de la sustitución de h para todas las ocurrencias de x en 𝛗x. Nuestro dominio en cuestión serán simplemente todas las personas y de las cuáles Tomoko será nuestro individuo específicamente elegido. Así podemos formular una proposición cuantificada universalmente como la siguiente:

Todas las personas pueden razonar.

De la que podemos concluir que

Por lo tanto, Tomoko puede razonar.

Objeto previamente introducido

Recordemos que j1 y j2 de las formulas anteriores también son personas, por lo que también podemos concluir que

Por lo tanto, j1 puede razonar.

Por lo tanto, j2 puede razonar.

Objeto Arbitrario

Y, por último, partiendo de (1) y de que es posible decir “sea i una persona arbitraria”, entonces se sigue que

Por lo tanto, i puede razonar.

Restricción

En el caso del objeto arbitrario, es importante no saber otra cosa acerca i dada la siguiente regla.

GENERALIZACIÓN UNIVERSAL (UG)

Forma lógica:

𝛗i

———-

∴ ∀x 𝛗x

Sin duda la regla más controversial es la de UG, y es que, si se define como la norma que establece que, a partir de cualquier instancia de una generalización universal, infieres esa generalización, entonces nos encontraremos con razonamientos como el siguiente:

William Lane Craig es Cristiano,

Por lo tanto, todos son cristianos.

Lo cual es falso. Para evitar este tipo de razonamientos falaces, necesitamos de un método al igual que hicimos con EI.

El método

Primero, de nuestra prueba escogemos a un individuo de forma arbitraria y temporalmente le damos un nuevo. Luego probamos algo sobre el individuo elegido al azar. Finalmente, podemos inferir que lo que hemos probado acerca de este individuo elegido al azar es válido universalmente; es decir, podemos inferir una generalización universal.

¿Pero cómo hacemos esto? Usando la prueba por condición general. Este es un método para probar proposiciones condicionales generalizadas; es decir, las proposiciones de la forma Todo P es Q. La técnica consiste en tomar alguna instancia arbitraria de P y luego probar que también es una instancia de Q. Habiendo probado que esta instancia arbitraria de P es también una instancia de Q, podemos inferir que cualquier instancia de P es una instancia de Q.

Ejemplo

Para probar que

Para cualquier x, si x es presidente de México, entonces x es un ciudadano mexicano.

Luego, por regla de UI podemos decir: “sea i un presidente de México arbitrariamente elegido”, entonces se sigue que

i es un ciudadano mexicano.

Luego por UG podemos concluir que

Para cualquier x, si x es un presidente de México, entonces x es un ciudadano mexicano.

Ahora, es importante recordar que no necesitamos estar seguros de que realmente hemos tomado una instancia de P, que no pasa nada si no existe ninguno. Esto se debe a que la certeza no es una condición necesaria, que haya una instancia de P escogida arbitrariamente es solo una asunción que estamos haciendo y que luego desecharemos. Recuerda que esta prueba condicional es similar a la que utilizamos para la lógica proposicional, por lo que nuestra prueba no depende de si realmente existe dicha instancia, sino que, si hay tal instancia, entonces también será una instancia de Q.

Así, para cualquier proposición ∀x (Px → Qx) se procede a probar de la siguiente forma:

Asumir alguna instancia de Px, digamos Pi, donde i denota cualquier individuo arbitrariamente elegido (pero no uno específico).

Probamos Qi.

Desechamos el supuesto y esbozamos la conclusión ∀x (Px → Qx).

Una aplicación práctica de esta regla sería la siguiente: imagina que le preguntas a un amigo tuyo: “¿Si alguien rompe tu celular nuevo, te molestarías con él?” Tú amigo responde: “Sí”. Ahora sabes que, dado que “alguien” podría ser “cualquiera”, concluyes por generalización universal que “Para cualquier x, si x rompe el celular de mi amigo, él se molestará con x”. Ahora puedes aplicar la regla de UI y concluir: “Si yo rompo el celular de mi amigo, él se molestará conmigo”.

La Restricción

Esta regla tiene la restricción de no inferir generalizaciones de proposiciones de un individuo específico. Por ejemplo, imaginemos un caso similar al anterior, solo que ahora le preguntas a tu amigo: “Si tu novia rompe tu iPad nuevo, ¿te molestarás con ella?” Y él responde “No”. Tú no puedes aplicar UG como en el caso del celular por que la “novia” no es alguien arbitrariamente elegido: si tú eres el que rompe su iPad, tu amigo podría enojarse contigo.

Jairo Izquierdo es Director de Social Media y autor para la organización cristiana Cross Examined. Estudia filosofía y teología, siendo su actual foco de estudio la lógica clásica, epistemología, doctrinas cristianas y lingüística. Es cofundador de Filósofo Cristiano. Es miembro en la Christian Apologetics Alliance y ministro de alabanza en la iglesia cristiana bautista Cristo es la Respuesta en Puebla, México.